Por: Célio Henrique Souza Silva, Sandoval Gualberto, William Junio Marques Tupinambás sob orientação de Cláudia Saraiva

Introdução

Em passado recente, a realização de levantamentos cadastrais, fossem de natureza urbana ou rural, envolviam apenas conhecimentos relativos à área da topografia, sem a preocupação de se fazer o referenciamento a sistemas de coordenadas planas retangulares utilizadas na cartografia convencional associadas a um Sistema de Referência Geodésico adotado oficialmente no país. Todo trabalho de topografia era referenciado a coordenadas arbitrárias. Azambuja (2007) apresenta diferentes justificativas para o uso dessas coordenadas arbitrárias no texto que se segue:

Conforme Azambuja (2007), essa forma de trabalho se justifica, em parte pelo desconhecimento, mas também pela dificuldade de realizar transporte de coordenadas de marcos de precisão, normalmente implantados em locais de difícil acesso situados a consideráveis distâncias da região onde os trabalhos eram realizados, bem como a pequena escala normalmente adotada nas cartas convencionais disponíveis em nosso país. Como alternativa a este procedimento de transporte de coordenadas, poderiam ser realizadas observações astronômicas para a determinação aproximada de coordenadas geodésicas, técnicas estas desconhecidas por parcela significativa dos profissionais da topografia convencional.

Esse trabalho tem o objetivo principal dissertar sobre os aspectos envolvidos na compatibilização entre as medições topográficas e pontos determinados com GPS. Já o objetivo específico é demostrar a posiibilidade de erros devido às diferenças existentes entre os sistemas de projeção.

Embora as técnicas de obtenção de dados em topografia tenham evoluído de forma significativa ao longo das últimas décadas, com a gradual substituição das antigas trenas, teodolitos convencionais e níveis de bolha por distanciômetros, estações totais e níveis eletrônicos, o resultado dessas observações, traz resumidamente, assim como antigamente, obtenção de distâncias, ângulos e diferenças de nível (cotas).

No entanto, com o advento do GPS, surgiu a possibilidade de vinculação das medições topográficas com pontos obtidos por GPS, podendo obter ao final do processo pontos georreferenciados, normalmente, em coordenadas UTM, vinculadas ao Sistema Geodésico Brasileiro (atualmente SIRGAS2000 e SAD-69).
Assim, surgiu o problema, como tem sido feito esta compatibilização de sistemas pelos profissionais em geral?

O desconhecimento sobre cartografia, especificamente projeções, levam à interpretações equivocadas dos resultados, como por exemplo, encontrar erros de fechamento maior do que o esperado, quando na verdade boa parcela desse erro pode ser resultado de má aplicação metodológica do cálculo. Portanto, academicamente o trabalho de conclusão de curso neste assunto acarretará um ganho no conhecimento acadêmico e profissional, sem falar que o presente trabalho será instrumento de pesquisa para outros interessados no assunto.

Referencial Teórico

- Medições topográficas

De acordo com Veiga et al. (2007), as medições topográficas de ângulo e distância horizontais se referem a um plano topográfico local. Quando se realizam levantamentos topográficos convencionais normalmente o produto final resulta na representação gráfica da área levantada em um sistema de coordenadas plano local, definido pelo executor, ou seja, um sistema de coordenadas local arbitrário.

- Sistemas de referencia

Os sistemas de referência, são utilizados para descrever as posições de objetos. Quando é necessário identificar a posição de uma determinada informação na superfície da Terra são utilizados os Sistemas de Referência Terrestres ou Geodésicos. Estes, por sua vez, estão associados a uma superfície que mais se aproxima da forma da Terra, e sobre a qual são desenvolvidos todos os cálculos das suas coordenadas. Três superfícies são consideradas: Física, Geóide e Elipsóide.

- Superfícies consideradas:

• Superfície física: A superfície física da Terra (superfície topográfica ou superfície real) é uma superfície entre as massas sólidas ou fluídas e a atmosfera. Esta superfície contendo os continentes e o fundo do mar é irregular e incapaz de ser representada por uma simples relação matemática (TORGE, 1996).

• Superfície geodal: O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. Na figura abaixo são representados de forma esquemática a superfície física da Terra, o elipsóide e o geóide. O geóide é utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) de um ponto considerado.

As linhas de força ou linhas verticais são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto  simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical.

De uma forma mais simplificada, permite que a superfície terrestre seja representada por uma superfície fictícia definida pelo prolongamento do nível médio dos mares por sobre os continentes.

• Superfície elipsoidal: É o mais usual de todos os modelos. Nele, a Terra é representada por uma superfície gerada a partir de um elipsóide de revolução. Dado que a Terra é ligeiramente achatada nos pólos e se alarga mais no equador, a figura geométrica regular usada em Geodésia e que mais se aproxima de sua verdadeira forma é o elipsóide de revolução. O elipsóide de revolução é a figura que se obtém ao se rodar um elipse em torno de seu eixo menor. Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a (maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo maior a e o achatamento f, expresso pela equação ƒ=(a-b)/a.

Elipsóide de revolução é uma superfície matemática adotada como referência para o cálculo de posições, distâncias, direções e outros elementos geométricos da mensuração, o elipsoide se ajusta ao Geóide com uma aproximação de primeira ordem, para um bom ajuste, cada país ou região adotou um Elipsóide de referência diferente e que melhor ajustou às suas dimensões. O elipsóide de revolução difere do geóide em até ± 50 metros (VEIGA; ZANETTI e FAGGION, 2013, p.12).

Sendo assim, as coordenadas geodesicas de um ponto sobre o elipsoide ficam assim definidas. Latitude Geodesica: ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul. Longitude Geodesica: ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste.

Segundo Veiga et al.  (2007) a normal é uma reta ortogonal ao elipsoide que passa pelo ponto P na superfície terrestre.

Geóide x elipsóide

O Geóide é uma superfície irregular com saliências “buracos” ocasionado pela maior ou menor concentração de massa no interior da Terra. Para identificar a posição de uma determinada informação ou de um objeto, são utilizados os sistemas de referência. Também conhecidos como sistemas de referência terrestres ou geodésicos, estão associados a uma superfície que se aproxime do formato da Terra, ou seja, um elipsóide. Sobre esta figura matemática são calculadas as coordenadas, que podem ser apresentadas em diversas formas (VOLPI, 2007).

Segundo o IBGE (2013), em uma superfície esférica recebem o nome de coordenadas geodésicas e em uma superfície plana recebem a denominação da projeção às quais estão associadas, como por exemplo, as coordenadas planas UTM. Assim, as coordenadas referidas aos sistemas de referência são normalmente apresentadas em três formas: Cartesianas, Geodésicas ou Elipsoidais e Planas.     No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 – Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global Reference System 1980), cujos semi-eixo maior e achatamento são é:

• a = 6.378.137,000 m
• f = 1/298,257222101

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Um sistema coordenado cartesiano no espaço 3-D é caracterizado por um conjunto de três retas (x,y e z), denominados de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares. Ele associado à um Sistema de Referência Geodésico, recebe a denominação de Sistema Cartesiano Geodésico de modo que: O eixo X coincidente ao plano equatorial, positivo na direção de longitude 0°; O eixo Y coincidente ao plano equatorial, positivo na direção de longitude 90°; e O eixo Z é paralelo ao eixo de rotação da Terra e positivo na direção norte.

A origem é definida quanto a localização. Se está localizada no centro de massas da Terra (geocêntro), as coordenadas são denominadas de geocêntricas, usualmente utilizadas no posicionamento à satélites, como é o caso do WGS84, SIRGAS 2000, SAD69.

Sistema de coordenadas geodésicas

Um ponto na superfície definido por suas coordenadas geodésicas (latitude, longitude e altitude geométrica ou elipsoidal) considera-se um elipsóide de revolução. Define-se como coordenadas geodésicas de um ponto P qualquer na superfície do elipsóide como: Latitude geodésica é o ângulo formado entre a normal (linha perpendicular ao elipsóide) no ponto considerado e o plano equatorial do elipsóide. Esta coordenada tem sinal positivo no hemisfério norte e negativo no hemisfério sul, pode-se também ser indicada pela letra N quando no hemisfério norte ou S no hemisfério sul.

Longitude geodésica é o ângulo formado entre o meridiano de origem (Greenwich) e o meridiano do ponto considerado, contado sobre o plano equatorial. Esta coordenada é positiva a leste de Greenwich e negativa a oeste. Podendo ser indicada pelas letras E e W para leste ou oeste respectivamente.

Altitude geométrica ou elipsoidal corresponde à distância entre o ponto considerado à superfície do elipsóide medida sobre a sua normal. Esta coordenada é nula sobre o elipsóide. As coordenadas curvilíneas podem ser representadas em um sistema cartesiano, através de formulações que fazem associações entre estes dois sistemas (Cartesiano e Geodésico). Tais formulações podem ser encontradas na “Resolução da Presidência da República nº 23 de 21/02/89 (IBGE, 2013).

Sistema de coordenadas planas

As coordenadas podem ser representadas no plano através dos componentes Norte (N) e Leste (E) regularmente utilizadas em mapas e cartas, referidas a um determinado sistema de referência geodésico. Para representar uma superfície curva em plana são necessárias formulações matemáticas chamadas de projeções. Diferentes projeções poderão ser utilizadas na confecção de mapas, no Brasil a projeção mais utilizada é a Universal Transversa de Mercator (UTM).

Sistema de projeção UTM

UTM é um sistema de coordenadas baseado no plano cartesiano (eixo x,y) e usa o metro (m) como unidade para medir distâncias e determinar a posição de um objeto. Diferentemente das Coordenadas Geodésicas, o sistema UTM, não acompanha a curvatura da Terra e por isso seus pares de coordenadas também são chamados de coordenadas planas. Os fusos do sistema UTM indicam em que parte do globo as coordenadas obtidas se aplicam, uma vez que o mesmo par de coordenadas pode se repetir nos 60 fusos diferentes. A imagem abaixo representa esses fusos, com a linha horizontal representando o Equador e a vertical, o Meridiano Central do Fuso UTM.

De uma forma mais simples, é o mundo é dividido em 60 fusos, onde cada um se estende por 6º de longitude. Os fusos são numerados de um a sessenta começando no fuso 180º a 174º W Gr. e continuando para leste. Cada um destes fusos é gerado a partir de uma rotação do cilindro de forma que o meridiano de tangência divide o fuso em duas partes iguais de 3º de amplitude (IBGE, 2013).

O quadriculado UTM está associado ao sistema de coordenadas plano-retangulares, tal que um eixo coincide com a projeção do Meridiano Central do fuso (eixo N apontando para Norte) e o outro eixo, com o do Equador. Assim cada ponto do elipsóide de referência (descrito por latitude, longitude) estará associado ao terno de valores Meridiano Central, coordenada E e coordenada N. No sistema UTM é adotado um elipsóide de referência que procura ser unificado com um elipsóide internacional, cujos parâmetros vêm sendo determinados com maior precisão. Inicialmente, era utilizado um elipsóide diferente para cada país ou grupo de países.

Ele também usa um fator de redução de escala, artigo Coordenadas topográficas X Coordenadas UTM que corresponde a tomar um cilindro reduzido a esse valor, de forma a se tornar secante ao esferóide terrestre. Isso diminui o valor absoluto das deformações, e em vez de se ter uma linha de verdadeira grandeza (k=1) e deformações sempre positivas (ampliações), passam-se a ter duas linhas de deformação nula (K=1), com redução no interior (k <1) e ampliação no exterior (k>1).

Mesmo sendo considerada como um dos melhores sistemas de projeção para a cartografia de médias de grandes escalas, a projeção UTM apresenta algumas limitações para a representação do globo terrestre, pois mantém precisão dos ângulos, mas possui imprecisões nas medições de áreas e distâncias (INSTITUTO POLITÉCNICO DE BEJA, 2013)

O sistema UTM emprega diferentes escalas dentro do mesmo fuso de representação. Não proporciona    continuidade de representação entre os diferentes fusos, os erros aumentam na medida em que os dados se afastam do meridiano central e da latitude de origem. (INSTITUTO POLITÉCNICO DE BEJA, 2013)
Para evitar coordenadas negativas, são acrescidas constantes à origem do sistema de coordenadas, conforme especificado na  figura abaixo,  10.000.000 m para a linha do Equador, referente ao eixo das ordenadas do hemisfério sul, com valores decrescentes nesta direção; 0 m para a linha do Equador, referente ao eixo das ordenadas do hemisfério norte, com valores crescentes nesta direção; e  500.000 m para o meridiano central, com valores crescentes do eixo das abscissas em direção ao leste.

Como convenção atribui-se a letra N para coordenadas norte-sul (ordenadas) e, a letra E, para as coordenadas leste-oeste (abscissas). Um par de coordenadas no sistema UTM é definido, assim, pelas coordenadas (E, N). Cada fuso, na linha do equador, apresenta, aproximadamente, 670 km de extensão leste-oeste, já que a circunferência da Terra é próxima a 40.000 km. Como o meridiano central possui valor de 500.000 m, o limite leste e oeste de cada fuso corresponde, na linha do Equador, respectivamente, valores próximos a 160.000 m e 830.000 m. (IBGE,2005).

As linhas de secância do cilindro estão situadas entre o meridiano central e o limite inferior e superior de cada fuso, o que infere, assim, duas linhas onde a distorção é nula, ou seja, o fator escala igual a 1. Elas estão situadas a cerca de 180 km a leste e a oeste do meridiano central, correspondendo, respectivamente, a coordenada 320.000 m e 680.000 m. Entre os círculos de secância, fica estabelecida a zona de redução e, externa a eles, a zona de ampliação. No meridiano central, o coeficiente de redução de escala corresponde a 0,9996, enquanto, nos limites do fuso, o coeficiente de ampliação é igual a 1,0010.

Devido à sua extensão longitudinal, o território brasileiro possui oito fusos UTM, do fuso 18, situado no extremo oeste, ao fuso 25, situado no extremo leste do território, ver figura abaixo.

Como quase toda a extensão latidudinal do território está situada no hemisfério sul, as coordenadas situadas ao norte da linha do Equador, que deveriam apresentar valores crescentes e seqüenciais a partir do zero, de acordo com a convenção atribuída à origem do sistema de coordenadas, apresentam valores crescentes e seqüenciais a partir de 10.000.000 m, dando continuidade às coordenadas atribuídas ao hemisfério sul.

Sistema de coordenadas topográficas

A posição relativa dos pontos da superfície terrestre é caracterizada pelas coordenadas num sistema de referência. Qualquer que seja o sistema envolvido, tais coordenadas são: a abscissa e a ordenada. Em topografia, as coordenadas são referidas ao plano horizontal de referência, o plano topográfico; o sistema de coordenadas topográficas é definido por um sistema plano-retangular XY, sendo que o eixo das ordenadas (Y) está orientado (é paralelo) segundo a direção norte-sul (magnética ou verdadeira) e o eixo positivo das abscissas (X) forma 90º na direção leste. Uma terceira grandeza, a altura (cota ou altitude) junta-se às coordenadas planas X e Y, definindo a posição tridimensional do ponto.

As operações de campo para a obtenção das coordenadas topográficas consistem na medição de uma distância horizontal, um ângulo horizontal e uma distância vertical ou ângulo vertical para cada ponto, além da determinação da orientação em relação a uma direção fixa: direção norte-sul.

No escritório as coordenadas são calculadas em função das medidas de campo, as medidas de distâncias e ângulos horizontais permitem calcular as coordenadas planas X e Y, enquanto as medidas de distâncias verticais ou ângulos verticais conduzem às cotas ou altitudes.

Um ponto é definido neste sistema através de uma coordenada denominada abscissa (coordenada X) e outra denominada ordenada (coordenada Y). Um dos símbolos P(x,y) são utilizados para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y.

Características que envolvem o sistema UTM

O sistema UTM, por se tratar do sistema mais usado pelos profissionais da área topográfica é, portanto o que mais incorre em erros. Muitos profissionais ignoram, ou desconhecem que o sistema UTM é um sistema de projeção cartografica sendo seu uso eficaz para mapeamentos em pequenas e médias escalas, sendo assim, deve–se tomar cuidado com locações e levantamentos em escala grande isso porque o sistema apresenta ângulos sem deformação, sendo que o mesmo não acontece com as distâncias obtidas devido à curvatura da terra.

O sistema UTM possui 60 fusos e cada fuso possui 6º de amplitude e apresenta valores de k de variam de 0,9996 no meridiano central e 1,001 no extremo do fuso. Dessa forma, as áreas mapeadas no sistema de projeção UTM são reduzidas na região do meridiano central até o limite de secância do sistema, onde não há deformação, e ampliadas da linha de secância até a extremidade do fuso.

As metodologias que possibilitam a transformação das coordenadas UTM em coordenadas topográficas locais, sendo que as distâncias podem ser obtidas desta última, ou então a transformação direta de distância UTM em topográficas local. O mais prático é trabalhar desde o início com um sistema de coordenadas local, isso evitará o procedimento citado no paragrafo anterior.

Ouro fato a ser considerado e que muitos profissionais se esquecem é que a projeção UTM representa cartograficamente ponto na superficie do elipsoide de referencia, sendo que para utilização dessas coordenadas para projetos ou locações precisa considerar o fator de elevação que trnaporta os pontos representados sobre o elipsoide o elipsoide de referencia para a superfíceie fisica, sendo que essa transformação altera os valores das coordenadas alterando consequentimente o valor da distância entre estas (MARCOUIZOS e IDOETA, 2003).

Existem métodos que possibilitam a transformação de coordenadas UTM em coordenadas topograficas locais, sendo que a distância pode ser obtidas através das coordenadas topograficas locais, ou então a transformação direta de distância UTM em distância distância topografica local. Pode ser observado que o procedimento citado anteriormente pode ser evitado se trabalhamos desde o inicio com um sistema de coordenadas locais, ou então com as proprias coordenadas geodésicas dos pontos. Profissionais que não seguirem o descrito acima podem ter surpresas em seus levantamentos e projetos. Uma rodovia projetada com coordenada plana UTM ao ser locada com essas mesmas coordenadas não chegara ao seu destino.

Conclusão

Medições topográficas se referem a um plano topográfico local. Pontos levantados por GPS se referem a um sistema de coordenadas cartesiano geocêntrico, que podem, obviamente, ser convertidos para coordenadas geodésicas ou UTM. Assim, integrar os dois sistemas significa ou “trazer” os pontos GPS para um Sistema local, ou as medições topográficas para o plano UTM, visto que cabe ainda ressaltar que existe a opção de se realizar transporte de coordenadas geodésicas, assunto não abordado.

Ao se optar por transformar as coordenadas de pontos GPS podem-se utilizar as fórmulas da NBR-14166, ou como opção transformar para um Sistema Geodésico Topocêntrico, porém, o mais importante é que os profissionais tenham o conhecimento dos erros que podem ocorrer e escolha uma forma de tornar esses erros insignificantes, executando dessa forma trabalhos com melhor qualidade.

Referências

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